منظم سازی آرنولدی تیخونوف برای مسایل بد حالت خطی با مقیاس بزرگ

‏: روش منظم سازی تیخونوف یکی از روشهای مهم برای حل مسائل بد وضع گسسته خطی با ابعاد بزرگ است. ‏این مسائل معمولا از گسسته سازی مسائل بد وضع پیوسته حاصل می شوند. ماتریس ضرایب اینگونه مسائل، ‏بسیار بد حالت بوده و بردار سمت راست آنها آلوده به نویز است. و این امر باعث انتشار نویز در جواب مسئله ‏می شود. بنابراین برای کم کردن اثر نویز روی جواب، از روشهای منظم سازی استفاده می کنند. کارایی روشهای ‏منظم سازی وابسته به پارامتری است که اصطلاحاً، پارامتر منظم سازی گفته می شود. تعیین مناسب این ‏پارامتر باعث معنی دار بودن جواب مسئله می شود. ‏‎روشهای مختلفی برای تعیین این پارامتر پیشنهاد شده است. ‏یکی از روشهای مورد توجه روش اصل تفاوت ‏‎(discrepancy ‎principle)‎‏ است، که در این پایان نامه برای تعیین ‏پارامتر منظم سازی تیخونوف از آن استفاده می کنیم. همچنین به بررسی روش ‏‎l‏-نوار برای پیدا کردن پارامتر ‏منظم سازی خواهیم پرداخت.‏ ‏ همچنین در ‏‎‎این پایان نامه فرآیند دو قطری سازی لانچوز جایگزین تجزیه آرنولدی شده و در مثالهای عددی ‏نشان داده شده است که تجزیه آرنولدی نیاز به محاسبه حاصلضرب بردار-ماتریس کمتری نسبت به دو ‏قطری سازی لانچوز بوده و بنابراین هزینه محاسباتی آن کمتر است. ‏‎‎‏ از طرفی، از روشهای تکراری نیز برای حل ‏اینگونه مسائل استفاده می کنند. یکی از این روشها که در این پایان نامه به آن می پردازیم روش ‏range ‎‎restricted ‎generalized ‎minimal ‎residual‎ (‎r‎rgmres)‎‏ است. هدف این پایان نامه مقایسه ی روشهای ‏آرنولدی با روش منظم سازی بر پایه دو قطری سازی لانچوز و روش تکراری ‏‎rrgmres‎‏ از نظر کارایی و ‏هزینه محاسباتی می باشد و همچنین تاثیر پارامتر منظم سازی تیخونوف روی جواب حاصل از این روشها و ‏خطای نسبی را بررسی می کنیم. ‏ ‏ در مثالهای عددی روش تکراری ‏‎rrgmres‎‏ را با روش منظم سازی تیخونوف از نظر کارایی و هزینه ‏محاسباتی مقایسه کرده و تاثیر پارامتر منظم سازی را روی جواب حاصل و همینطور روی خطای نسبی بررسی ‏می کنیم و نشان می دهیم که روش منظم سازی تیخونوف به دلیل وجود پارامتر در این روش از نظر کارایی و ‏خطای نسبی بهتر عمل می کند. همچنین با دو مثال عددی کارایی روش ‏l‏- ‏‎نوار را مورد بررسی قرار داده و ‏نشان می دهیم که برای مسائل بزرگ از نظر هزینه محاسباتی این روش بسیار مناسب می باشد.